本书“前言”风趣幽默,阐述了《具体数学》的来由,值得一读: http://www.wking-china.com/article/26318

以下书评译自 亚马逊网站 Concrete Mathematics(2nd Edition) 页面


213位读者评价了这条书评,207位认为有价值
请谨慎些 Please Be Discrete 2001.07.13
作者:Mary P. Campbell "math geek" (Flushing, NY USA)
原文:http://www.wking-china.com/xpjylc/review/R29G0CK6SOH0V7

什么是“具体”的数学,而不是其他类型的数学?作者解释说,书名(Concrete Mathematics)融合了数学的两个分支:连续(CONtinuous)数学和离散(disCRETE)数学。虽然许多人看似喜欢将这两个分支区别开来,但它们彼此互为基础。本书的论题(如和式、生成函数、数论)实际上是标准的离散数学课题;然而,本书处理它们时显示了内在的连续性(即:微积分)。没有微积分,生成函数就无法实现,它们的巨大威力也就无法用于级数的研究。

对于那些注重细节的人,尽管有些自作聪明的旁注,这是一本严肃的数学书。与大多数数学书(尤其是研究院的数学书)不同,本书没有省略任何东西。记号被详细解释(非常重要),常见的陷阱被指出(而不像通常那样,让学生在考试中遇到它们被碰得血淋淋),重要之处和那么重要的地方都被指出。

还有,我不能不评论这些旁注,有些旁注是对读者的严重警告。例如,本书前言中有一条旁注“我建议混学分的学生不要上这门课。”有些旁注建议读者略读,有些旁注建议严肃对待。所有来自帮助创作本书的“友好的助教”的旁注,对学生可能面临的困难有更根本更详细的了解。不过,也有大量的双关语和冷笑话,时不时地逗逗读者:“空集不含点”、“但不是非贝塞尔(Imbesselian)函数”和“约翰 .316”令我会心一笑,但你必须自己发现它们。

对于那些已通过艰难的数学专业研究的人而言,阅读本书是件轻松愉快的事;至于其他的人,务请铭记,这是一本严肃的书,必须准备好做些实实在在工作。非常聪明的高中学生领会本书的难度不大。 我要提前指出 - 本书中有些习题是有深度的研究题。如果一道习题已经费了你一个星期的时间,就应该看看后面的答案,检查该题是否确实有解;他们给你习题时不一定会告诉你这一点。

因此,我极力推荐这本书给那些想要解决一些需要多费心思的难题的数学爱好者。这里的公式在“在实际生活中”确实派得上用场,尤其是对那些使用数学较多的人而言。


57位读者评价了这条书评,57位认为有价值
我希望每本书都这样写! 2005.12.13
作者:Anthony Widjaja To (Toronto, ON Canada)
原文:http://www.wking-china.com/xpjylc/review/R1FPDV23KP8IQE

也许,这本书是我读过的写得最精美的书籍之一。书中呈现的证明皆简练。当你阅读书中的证明时,你能感觉到句子间联系的逻辑性、流畅性。部分原因是作者采用了简练有效的记号。[注:作者之一高德纳(Donald Knuth),是良好数学记号的最大支持者之一。参见他的著作《数学写作》(Mathematical Writing)。]

其他的书评已经对本书作出了总结。所以,我只能说,每一位计算机科学家和组合学家至少应该读读第1、2、5、7、9章。强烈推荐第5章。相信我:一旦你掌握了这些章节,你将能够做你同事所不能做的事情。即使只是熟悉了本书的记号,将有助于你发现证明,如果你无法以其他方式获得。[在每个证明中,伟大的想法当然总是很重要的 - 但如果没有良好的记号,你很可能压根儿就没有想法。]

据我所知,本书几乎没有什么不好的。我只会说,掌握书中的知识需要花费很多时间和精力。就我本人来说,当我对离散数学感兴趣时,我开始阅读第1、2章。花了约半年的业余时间读通这两章。学习“生成函数”课程时,我再次找到这本书。我发现,第5、7章是必不可少的。我也被迫重读第2章,因为,当涉及到处理和式及二项式系数时,我的讲师(和大多数人一样)只是挥了挥他的手。当然,我付出的所有努力终得报偿,在期末考试中我的朋友不能解答的问题,我能解答。

总之,我强烈推荐本书给每一位计算机科学家和组合学家。最后的评论是,如果你在用心学习具体数学,可能会发现生成函数几乎无处不在。想弄懂这些讨厌鬼,我强烈推荐塞奇威克(Sedgewick)和弗拉若莱(Flajolet)的《算法分析导论》(Introduction to Analysis of Algorithms)和《分析组合数学》(Analytic Combinatorics)(尚未出版,但弗拉若莱的网站提供次定稿),以及维尔夫(Wilf)的《生成函数》(Generatingfunctionology)。


45位读者评价了这条书评,45位认为有价值
伟大的书...有些评论者根本不懂她. 2007.06.20
作者:Wayne Folta (Washington, DC)
原文:http://www.wking-china.com/xpjylc/review/R2V53Q7BZY6RH0

我已有本书第1版,到这里来看看第2版。有一些负面评论,基本上都是那些书评人有重大误解而做出的。所以我要添上我的书评。

首先,她是一本什么类型的书?她不是一本有许多重复的入门级数学书。她是一本由出色的教师以精炼的方式完成的有深度的数学书,要求学习的人掌握微积分、概率论等知识。你真的没必要把她当作一本代数入门课程(或其他东东)似的略读浅尝。(我不是精英。我没能进入斯坦福大学,也不认为自己是数学天才,这不是“我们与无知大众”的问题,因为我自己也纠结于书中的知识。)

其次,本书讲什么?一些评论者对书名中的“具体(Concrete)”一词的说法有研究,说到底,她就是一本你必须掌握的理论计算机科学的离散数学书。(例如,本书讲述的离散运算与我们在学校学到的连续微积分相对应。)举个例子,在任何算法分析课程中你都将面对递归方程以及大量的离散数学。

第三,本书是如何组织的?初看起来,她显得很散乱。当你阅读时,作者似乎有“看,这些花”或“看,岩石下”之类的未标示的提示。但实际上,本书确实是按阶递进地编写的,例如由第1章的递归式(河内塔、若瑟夫问题)到第7章的生成函数。

也许能采用更为简洁的方式,但我认为在编排上并不会有太多的差异。可能他们会将某些章节全部扔到附录,但读者将不得不不停地在章节和附录间转换,因为这些知识联系得如此紧密。

第四,哪些其他书籍涉及这些知识?我没资格去谈论全部的书籍,但我必须说我当前上课用的三本算法分析书只是明确地给出了这些知识的基础且只给出了两种可能性:1)摆弄公式,可能使用图形表示,直至你能发现一个模式并作出猜测,然后用归纳法证明;2)如果你的算法是一个特定的类别,将一些数字代入三步公式,如果其中的一步可用那么就得到答案。《具体数学》给你许多强大的工具去解决这类问题。

第五,本书的风格是什么?作者采用的是非正式的写作风格——跳出正式的数学和证明——带有由写作本书时的“试读者”贡献的旁注。

一些评论者对旁注持批评态度,我只有摇摇头庆幸我不需要和他们合作。是的,有些旁注只是些双关语和小幽默,但是可令读者从沉重的数学问题中获得放松。并且,许多旁注提供了重要提示及其他学习本书的学生的观点。我希望所有的技术书籍都有这样的旁注,但只有高德纳(Knuth)找到了不怕辛劳的出版商。

这就是我的观点。这是一本有份量的讨论高难度技术话题的优秀书籍。阅读她犹如用另一种语言将数学由代数至微分方程重学了一遍,也许那些持批评态度的评论者只是没有读懂她而已。如果你不是一个需要严格分析算法的程序员,不是一个只是为学习的乐趣而读书的人,请忽略她。


71位读者评价了这条书评,68位认为有价值
很有用,写得很好 2000.01.30
作者:N. Novik (New York, NY USA)
原文:http://www.wking-china.com/xpjylc/review/R3M0X04W27G29Y

这是一本纯粹因为实用而值得你永久保存的书:书里塞满了公式、技巧和范例。但更重要的是,作者展示技巧并对隐藏其后的概念作出解释,他的目的在于给你装备解决任何遇到的数学问题的思维工具。最重要的是,它写得很好,“旁注”提供了一些诙谐的调剂。这本书知识非常厚实,她不是一本我会推荐你作轻松阅读的书:如果你将来可能会用到她,你只是会设法学完这些知识。但是,如果你将来确实需要她,这本书会有趣得多。


30位读者评价了这条书评,30位认为有价值
我最喜爱的数学书,毫无疑问 2011.05.16
作者:A Studious Student(一位勤奋好学的学生)
原文:http://www.wking-china.com/xpjylc/review/R29RP5TLX8P90K

这是迄今为止我最喜爱的数学书。我在普特南(Putnam)数学竞赛预备课程中被推荐了这本书,开始的时候我没有买(似乎太过分了)。我在学校图书馆里找到了她并用她做了些作业。研读了几晚,我跑去买了一本(半价,多么划算!)当然,这本书并不适合每个人,但如果对离散数学感兴趣,一定要选这本书。

我还没有读完整本书(只是扎实读完六分之一,在买了这本书之后的课程学习中,我参考了约四分之三的内容)。我最喜爱本书以下几点:

  • 厚实度和可读性合理平衡。有些数学书很厚重,以至于每一页需花一个小时或更多的时间去读懂。这本没那么沉,但确实比你第一年上的微积分课程难。如果你习惯如风掠过似的学习一章(包含2~6个概念还有一些练习题),你得适应慢下来,并做些认真的复读。我估计,依据读者对这些知识的了解程度,他们可能花费二十至六十小时来掌握每一章的知识。这包含了做章末习题的时间。这看起来需要大量的时间,相信我,当你读完本书时将学会这行里的所有门道。

  • 直观的方法。我发现很多教科书采用线性方式花费许多的时间来阐明知识。在这种意义上来说,当知识被掌握之后,文章的组织结构是有意义的;但当你在学的时候,这种结构看上去却是随意并无序的。初读此书时,她就是非常直观的,你的意识想到哪,她的观点就流进哪;这个意义上说,她的思想跟你的思路行云流水般契合。大多数章节以一个(令人耳目一新的、困难的)问题开始,伴随着学习解决问题所需的技巧,问题的解答方法也就被你掌握了。当你读这本书时,你能学会非常有效的解决问题的技巧。

  • 合适的深度。作者不是简单地教你如何处理特定类型的和式,而是深入剖析了这类问题后的原理,也包括“这行的门道”。在本书中我学到一些和式的处理技巧,我还需去别处瞧瞧,它们非常好用!例如,一类“离散运算”的定义,让你非常轻松地得出(从 1 到 n 的)整数的 k 次幂的和式的封闭形式(使用了斯特林数,我敢肯定在网络上可以找到它。)

这些是我不喜欢的:

  • 在数论方面别投入太深。涉及基础就好了,但不要陷入 RSA 算法。
  • 别像我所预期的那样把连续数学知识混入。

总而言之,本书将离散数学的基本课题讲述得非常好。读完她之后你将完全掌握和式、离散概率及数论。对于你在本科课程不常遇到的离散数学知识,她给你惊人深度的展示,包括:

  • 底函数/顶函数及其应用。
  • 二项式系数(n 选取 k)。
  • 生成函数。
  • 特殊的数(斯特林数、斐波那契数、调和数以及其他的数)。
  • 大O记号(这里终于涉及到计算机科学)。

必读此书者:

  • 数学专业大学生。
  • 喜欢但久未接触数学的人。
  • 研习连续数学(微积分、高中数学、分析),寻求多元化思维的人。
  • 钻研素数、斐波纳契数,或者研究奇妙的数学模式的人。

勿需打扰者:

  • 糊涂。
  • 数学天才。
  • 电脑奇才,但不喜欢数学(尽管本书副标题是“计算机科学基础”,她是一本纯粹的数学书)。
  • 只关心答案而不关心过程的工科学生(看看那些给一星评价的家伙)。
  • 注意:本书并没有采用你习惯的“命题-证明-例题”的模式。你已经被警告过了。

这本书写得非常好,我保证,如果你属于“必读此书者”,你就不可能摆脱她,她会终身栖息于你的书架。

此外,关于书名。似乎有些人困惑为什么她被称为《具体数学》(看看那些给一星评价的家伙)。不是因为她呈现的是每日的、公式化的数学而称为具体数学。我从本书前言得知,之所以是“具体(CONCRETE)数学”,是因为“她融合了连续(CONtinuous)数学和离散(disCRETE)数学。”这是迄今为止我见过最傻的书名公式,我想作者们并不这么想。

最后,由于在本书订购页面没有看到目录,我按顺序将本书内容列在这里:

  • 递归
  • 和式
  • 整值函数(底、顶、模)
  • 数论
  • 二项式系数(n 选取 k)
  • 特殊的数(斯特林数、欧拉数、伯努利数、斐波那契数以及其他的数)
  • 生成函数
  • 离散概率
  • 渐近式(大O记号)

在你查阅习题答案之前,有 500 页的好东西。哦,对了,书里没有浅薄的注着“奇数题号的习题答案”的背页。每个问题都是完全解答,有些解答超过一页。如果这不是最好的学习方法,我不知道什么是。阅读愉快。